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特殊二位数乘法速算

来源:网络收集 作者:Admin 时间:12年01月16日 浏览:

速算是提高学生心算能力,发展学生思维的有效途径,在速算过程中,要使运算尽可能简便、快速、正确,就要注意培养学生对数字的感觉、直觉、熟记一些常用的数据。
同学们,三分学,七分练,只要耐心去练,熟能生巧,你一定会收到预期的效果,也相信你们一定会通过数学的学习,变得越来越聪明。
某些二位数的速乘法:两位数与两位数相乘是日常生活中经常遇到的事。如去买菜,西红柿每斤1.8元,买了1.2斤,该付多少钱?一个3.5米见方的房间有多少平方米?某单位给员工的午餐补贴是每天15元,19个员工每天要补贴多少钱?等等。这些问题看似简单,但在没有计算器和纸笔的情况下,要很快算出正确答案也不是一件非常容易的事。这里介绍的“某些二位数乘法的速算(心算、口算)法”将两位数的乘法转化成了一位数的乘法以及加、减法,可以快速而正确地得到答案,虽然不能涵盖所有的两位数乘法,但如能熟练掌握,仍可带来很大的方便。

一、“十位上数字相同,个位上数字互补”的两个两位数相乘

   如43×47这样的两位数乘式,两个乘数十位上的数字相等(此例都是4),个位上的数字互补(所谓互补,就是其和为10。此例是3和7),这一类两位数乘法的速算口诀是:
十位乘以大一数,个位之积后面拖。
就以43×47为例来说明口诀的运用。
口诀第一句“十位乘以大一数”的操作是:用4(十位上的数)乘以5(比十位上的数大1的数),得到20。口诀第二句“个位之积后面拖”的操作是:用3乘7得积21,(个位之积)直接写在20的后面(后面拖),得2021就是答案。
需要注意的是当个位数是1和9时,它们的乘积9也是个一位数,在往十位数的乘积后面“拖”的时候,在9的前面要加一个0,即把9看成09。例如91×99,答案不是909而应该是9009。
此速算法的代数证明如下:
任意一个两位数可以用10a+b来表示,(例如56就是10×5+6这里的a是5,b是6)另一个不同的十位数则可以用10c+d来表示,两个不同的十位数相乘就可以写成:(10a+b)(10c+d)由于规定的条件是“十位上数字相同”所以上述代数式可以改写成(10a+b)(10a+d),把这个代数式展开如下:
(10a+b)(10a+d)=100a2+10ad+10ab+bd
                   =100a2+10a(d+b) +bd
由于规定的另一个条件是“个位上数字互补(之和等于10)”,也就是式中的d+b=10所以上式可以演化为            
=100a2+100a+bd
                       =100a(a+1)+bd
这个式子中的a就是“十位上的数字”,而(a+1)就是“比它大1的数”,它们的乘积再乘以100就是在后面添两个0罢了。个位数的乘积bd“拖”在后面实际上是加在两个0位上。这也正是bd=9时要写成0 9的道理。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
11×19  12×18  13×17  14×16  15×15  21×29  22×28  23×27  24×26  25×25
31×39  32×38  33×37  34×36  35×35  41×49  42×48  43×47  44×46  45×45
51×59  52×58  53×57  54×56  55×55  61×69  62×68  63×67  64×66  65×65
71×79  72×78  73×77  74×76  75×75  81×89  82×88  83×87  84×86  85×85
91×99  92×98  93×97  94×96  95×95
    速算中遇有小数点时,可先不考虑它,待算出数字后,看两个乘数中一共有几位小数点,在答案中点上就是了。例如每斤1.8元的西红柿,买了1.2斤,该多少钱?1乘2得2,后面拖16(2乘8)得216。点上两位小数点得2.16元。


二、“十位上数字互补,个位上数字相同”的两个两位数相乘

第一种速算法要求“”而这一类两位数乘法要求的条件恰恰相反,要求“十位上数字互补,个位上数字相同”。这一类两位数乘法的速算口诀是:
个位加上十位积,个位平方后面接
就以47×67为例来说明口诀的运用。
用7(“个位”上的数字)加上24(十位上两个数字的乘积)得31(就是口诀“个位加上十位积”),在31的后面接着写上49(个位数的平方),得3149就是答案。
需要注意的是当个位数的平方也是个一位数时,在 “接”的时候,在其前面要添一个0,即把1看成01;把4看成04;把9看成09。例如23×83,答案不是199而应该是1909。
此速算法的代数证明如下:
(10a+b)(10c+b)=100ac+10ab+10bc+b2
                                 =100ac+10b(a+c) +b2
因为十位上数字互补,所以式中的a+c等于10,于是上式演化为
                   =100ac+100b+b2
                   =100(ac+b)
这(ac+b)就是“个位加上十位积”,乘100等于后面添两个0。式中的“+b2”
就是加上个位数的平方。由于个位数的平方最多也就是两位数,所以必定是加在两个0位上,实际效果就是“接”在前面数字的后面。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
11×91  21×81  31×71  41×61  51×51  12×92  22×82  32×72  42×62  52×52
13×93  23×83  33×73  43×63  53×53  14×94  24×84  34×74  44×64  54×54
15×95  25×85  35×75  45×65  55×55  16×96  26×86  36×76  46×66  56×56
17×97  27×87  37×77  47×67  57×57  18×98  28×88  38×78  48×68  58×58
19×99  29×89  39×79  49×69  59×59
其中加黑字体的55×55与第一种速算法重叠,也就是它既可以适用于第二种速算法,也适用于第一种速算法。

三、“十几乘十几”

如18×16这样的乘式,两个两位数十位上的数相等而且都是1,但个位上的两个数字则是任意的(并不要求其互补),这就是“十几乘十几”。这一类两位数乘法的速算口诀是:
十几乘十几,好做也好记,一数加上另数个,十倍再加个位积
以18×16为例来说明口诀的运用。
用18(“一数”,即其中的一个数)加上6(另外一个数的个位数,简称“另数个”)得24并将其扩大10倍(后面添个0即可)成240,再加上两个个位数的乘积(6、8得48),所得288就是18×16的答案。
当个位数的乘积也是一位数时,由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大10倍后的那个0上的,所以实际上是直接“拖”在那个“和数”的后面就可以了。
例如12×13  眼睛一看或是脑子一转就知道是15(12加3)后面拖一个6(2×3)答案是156了。
此速算法的代数证明如下:
(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab
              =10(10+a+b)+ab
括号中的10+a+b可以看成(10+a)+b或(10+b)+a其中的(10+a)或(10+b)即是两个乘数中的一个,而所加的b或a就是另一个乘数的个位数,这就是口诀“一数加上另数个”的来由。(10+a+b)的前面还有10相乘,所以第二句口诀一开始就是要求“十倍”,然后“再加个位积”(就是公式中的+ab)。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
11×11  11×12  11×13  11×14  11×15  11×16  11×17  11×18  11×19
12×12  12×13  12×14  12×15  12×16  12×17  12×18  12×19
        13×13  13×14  13×15  13×16  13×17  13×18  13×19
14×14  14×15  14×16  14×17  14×18  14×19
        15×15  15×16  15×17  15×18  15×19
                16×16  16×17  16×18  16×19
                        17×17  17×18  17×19
                                18×18  18×19
                                        19×19
其中加黑字体的五组与第一种速算法重叠,也就是这五组乘式既可以适用于第二种速算法,也适用于第一种速算法。

四、二十几乘二十几

    如26×27这样的乘式,两个两位数十位上的数相等而且都是2,但个位上的两个数字则是任意的(并不要求其互补),这就是“二十几乘二十几”。这一类两位数乘法的速算口诀是:
一数加上另数个,廿倍再加个位积
以26×27为例来说明口诀的运用。
用26加7得33,“廿倍”就是乘2后再添0,所以得660。再加上42(个位上的6乘7)答案是702。
当个位数的乘积也是一位数时,由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大20倍后的那个0上的,所以实际上是直接“拖”在那个翻倍后的“和数”的后面就可以了。
例如22×23  眼睛一看或是脑子一转就知道是25(22加3)翻倍后得50,后面拖一个6(2×3)答案是506了。
此速算法的代数证明如下:
(20+a)(20+b)=400+20a+20b+ab
              =20(20+a+b)+ab
括号中的20+a+b可以看成(20+a)+b或(20+b)+a其中的(20+a)或(20+b)即是两个乘数中的一个,而所加的b或a就是另一个乘数的个位数,这就是口诀“一数加上另数个”的来由。(20+a+b)的前面还有20相乘,所以第二句口诀一开始就是要求“廿倍”,然后“再加个位积”(就是公式中的+ab)。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
21×21  21×22  21×23  21×24  21×25  21×26  21×27  21×28  21×29
        22×22  22×23  22×24  22×25  22×26  22×27  22×28  22×29
                23×23  23×24  23×25  23×26  23×27  23×28  23×29
                        24×24  24×25  24×26  24×27  24×28  24×29
                                25×25  25×26  25×27  25×28  25×29
                                        26×26  26×27  26×28  26×29
                                                27×27  27×28  27×29
                                                        28×28  28×29
                                                                29×29
其中加黑字体的五组与第一种速算法重叠,也就是这五组乘式既可以适用于第三种速算法,也适用于第一种速算法,而且是用第一种速算法更快捷,更不容易出错。
不难看出,“二十几乘二十几”的口诀与“十几乘十几”的口诀极为相似。所不同的是“十几乘十几”速算时,在求出“一数加上另数个”之后,要求“十倍”“再加个位积”,而是“二十几乘二十几”是“廿倍(二十倍)”,然后“再加个位积”。
实际上,这种方法一直可以适用到“九十几乘九十几”。但是“一数加上另数个”之后要乘以9,数字就比较大了,一般人容易出错。那就真正是“欲速则不达”了。心算底子好的人不妨练习用此法去做“三十几乘三十几”、 “四十几乘四十几”……

五、四十几的平方

所谓“四十几”,就是十位数是4的两位数,它的个位数可以是1——9的任意一个数。这样的数一共有9个,即41、42、43、44、45、46、47、48、49。求它们平方的速算口诀有两种。
方法一的口诀:
廿五减去个位补,个补平方后面拖。
以求43的平方为例说明口诀的运用。
用基数25减去个位数的补数(即减去“个位补”此例的个位数是3,其补数是7)得到差数18后,在后面接着写上个位数补数的平方(7的平方)49,得到1849就是答案了。
当“个位数补数的平方”是个一位数时,在“拖”的时候前面要添一个0。
例如求47的平方。个位补是3,被25减得22,个补的平方是9,答案应该是2209而不是229。
这9个数字中,求45平方的速算法与第一种速算法重叠,也就是45的平方既可以适用于第五种速算法,也适用于第一种速算法。
此速算法的代数证明如下:
“四十几”的平方的代数式是(40+a)2
设b是的a补数, 即a+b=10  于是a可以用b来表示: a=10-b  这样就有:
(40+a)2=[40+(10-b)]2
        =(50-b)2
        =2500-100b+b2
        =100(25-b)+b2
括号内的25-b就是“廿五减去个位补”,再乘100就是后面添两个0,b2就是“个补平方”,所谓“后面拖”实际是加在两个0位上。此方法前后两句口诀都用个位数的“补数”。
方法二的口诀:
十五加上个位数,个补平方后面拖
同样以求43的平方为例说明口诀的运用。
用15加上个位数3得18,个位数3的补数是7,7的平方是49,把49写在18后面得1849就是答案了。
此速算法的代数证明如下:
方法一已经证明了
(40+a)2=100(25-b)+b2
现在用10-a 代入括号中的b就得到
(40+a)2=100[25-(10-a)]+b2
         =100(25-10+a) +b2
        =100(15+a)+b2
方法二的两句口诀就是根据最后100(15+a)+b2这个式子来的。此方法的前一句用“个位数”,后一句用“个位数的补数”。各人可根据自己习惯选用方法一或方法二。

六、五十几的平方

所谓“五十几”,就是十位数是5的两位数,它的个位数可以是1——9的任意一个数。这样的数一共有9个,即51、52、53、54、55、56、57、58、59。求它们平方的速算口诀是:
廿五加上个位数,个位平方后面拖。
以求58的平方为例说明口诀的运用。
用基数25加上个位数8得33,个位数8的平方是64,把64写在33后面得3364这就是答案了。(此法不用“补数”)
此速算法的代数证明如下:
(50+a)2=2500 +100a+a2
                =100(25+a)+a2
此式与口诀的关系已经是一目了然了。

七、“十位数相差1,个位数互补”的两位数相乘

如37×43、62×58、81×99这样的乘式就是“十位数相差1,个位数互补”的两位数相乘。这类乘式的速算方法也有两种。
方法一的口诀:
大十平方减去一,小个添零加个积,前后相接在一起。
以求62×58为例说明口诀的运用。
因为62比58大,所以把62叫做“大数”,58叫做“小数”。口诀中的“大十”指的是“大数”十位上的数字;“小个”指的是“小数”个位上的数字,而不一定是比较小的那个各位数。如本例中的“小个”是8而不是2,“个积”是指个位数的乘积。
用6(“大十”)的平方36减去1得35。再用80(“小个添0”)加上16(“个积”)得96。答案就是3596。
此速算法的代数证明如下:
设大数为10a+b,小数为10c+d。
(10a+b)(10c+d) =100ac+10bc+10ad+bd
因为十位数相差1,b和d互补,所以c=a-1 ,b=10-d  以此代入上式得:
                  =100a(a-1)+10(a-1)(10-d)+10ad+bd
                  =100a2-100a+10(10a-ad-10+d)+10ad+bd
                  =100a2-100a+100a-10ad-100+10d+10ad+bd
                  =100a2-100+10d+bd
                  =100(a2-1) +10d+bd
式中的(a2-1)就是口诀的第一句“大十平方减去一”,乘100是在后面添两个0,为“前后相接”提供了方便。式中的10d+bd,就是口诀的第二句“小个添0加个积”。
方法二:
由于任意两个两位数相乘的通式是(10a+b)(10c+d),现在的已知条件是十位数相差1,个位数互补,即c=a-1, d=10-b  所以
(10a+b)(10c+d)=(10a+b)[10(a-1)+10-b]
               =(10a+b)(10a-10+10-b)
               =(10a+b)(10a-b)
               =100a2-10ab+10ab-b2
               =100a2-b2
式中的a和b分别是数值比较大的那个两位数十位和个位上的数字,上式的意思就是用数值比较大的那个两位数十位上的数字平方后在后面添两个0(即乘以100),然后减去个位上数字的平方。
例如76×64,十位上的6和7相差1,个位上的6和4互补,符合此速算法的条件。此题实际上是(70+6)(70-6)
根据方法二,选定76(数值比较大的数),用49(十位数上7的平方)添两个0,得4900,然后减去36(个位数6的平方)得4864就是答案了。所以方法二就是:用数值比较大的那个两位数十位上的数字平方后添两个0(即乘以100),然后减去个位上那个数字的平方。

八、九十几乘九十几

九十几乘九十几,虽然数字挺大,却也有速算的办法。这个命题的代数式是:
(90+a)(90+b)考虑到九十几已经接近100了(差一个补数),因此可以利用一下补数。令a的补数是c,b的补数是d,  则有:
(90+a)(90+b)=(100-c)(100-d)
                =10000-100c-100d+cd
                =100(100-c-d)+cd
这个式子表明:九十几乘九十几可以这样来速算:用100减去两个乘数个位数的补数,再在后面拖上两个乘数个位数补数的乘积即可。
例如97×98,用100减去3(7的补数)和2(8的补数)得95,而补数的乘积是6(06)所以答案就是9506。为了便于记忆,可以编成这样的口诀:
两个个补被百减,个补乘积后面写。
由于100(100-c-d)+cd这个式子还可以变化,所以“九十几乘九十几”还有一种速算法。因为c和a互补,b和d互补,所以c=10-a,d=10-b代入到上式的括号中得:
100(100-c-d)+cd=100[100-(10-a)-(10-b)]+cd
                  =100(100-10+a-10+b)+cd
                  =100(80+a+b)+cd
这个式子表明:九十几乘九十几也可以这样来速算:用80(基数)加上两个乘数的个位数,后面再接写个位数补数的乘积即可。
仍以97×98为例。80加上7和8得95,后面接写06(7和8的补数2和3的乘积)得9506就是答案了。为了便于记忆,也可以编成这样的口诀:
八十加两个位数,个补乘积后面拖。

九、一百零几乘一百零几

这种乘法极容易做。只要将其中一个数加上另一个数的个位数,后面再写上两个个位数的乘积就是了。
例如:108×107
用108加上7(或用107加上8)得115  再在其后写上56(7×8的积)得11556就是答案了。
如果一定要编两句口诀,那么可以这样说:
一数加上另数个,个位乘积后面凑。
此速算法的代数证明相当简单,这里就不赘述了。

十、某数乘以十五

某数乘以15可以看作乘以1.5再乘以10。而某数乘以1.5就是原数加上它的一半。
所以某数乘以15只要用原数加上原数的一半后后面加个0(原数是偶数)或小数点往后移一位就可以了。
如246×15  用246加上它的一半123得369  后面加个0得3690就是答案了。
如151×15  用151加上它的一半75.5得226.5  把小数点往后移一位得2265就是答案了。

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